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北京大学
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数学和科学中的希腊精神以及数学和科学的差别
数学史上有三个黄金时代：古希腊，十七、十八世纪和现在。从数学和科学的关系看，这三个时期展现出了数学的三个传统：毕达哥拉斯－柏拉图传统、工具论传统和游戏论传统。
数学和科学的家在古希腊。古希腊人认为大自然表面看来似乎无序，其实背后是有秩序的，而他们探讨哲学、数学和科学（当时这三者不分家）的基本动机便是认识这种秩序。当时的希腊人认为从经验获得知识的途径有局限，想寻找从真理到真理的途径，而数学中的演绎证明思想正符合了当时古希腊人的要求。所以毕达哥拉斯－柏拉图传统认为宇宙的内在秩序是数学化的。前者认为数统治着世界；后者认为神是以几何学的方式创造宇宙。
十七、十八世纪是科学的世纪，大多数学者的兴趣集中在物理学，数学被当作物理学的工具来对待。这个时期的数学充满了含糊不清的观念、粗疏不严谨的推理、随意任性的推广，但令人惊奇的是数学家们没有出现太过严重的错误，反而开拓了许多新的领域。于是数学－最具有逻辑严格性的科学，经历了一段非常不合逻辑的发展，其原因在于这个时期的数学是作为科学的工具而出现的，是靠科学的引导发展起来的，是受外在推动而不是按其内在的逻辑前进。
十九世纪下半叶，一场将数学严密化的运动开创了现当代数学时期。数学开始脱离科学的引导，依靠自身逻辑的推动独立发展。有些数学分支的发展已经超前于科学。数学的这种独立性和超前性一方面给了科学家穿透世界表象、直抵最基本的内在秩序的能力，另一方面也给了数学家更为广阔的发展空间。数学家们渐渐忘记了数学与科学那种原初的和谐，数学和科学的分离与日俱增。
工具论完全忽略了数学的独立和自由创造的精神，其直接性和实用性的狭隘视角无法容纳数学中更多深刻而精彩的东西；而游戏论把数学的独立自由推向了另外一个极端，完全隔绝了数学与世界的关系，把数学变成了纸上的游戏。尽管如此，这两个极端却展开了数学与科学、科学与世界之间关系的全部内涵。在它们之间，有众多区域适合毕达哥拉斯－柏拉图传统的存在，所展现的特征甚至不能用语言或是当时的时代特征去描述。于是，我们对古希腊的传统和精神的理解从初始的简单肤浅变得更加深刻和多样。
数学和科学中的有限性思维
第一是思维范畴的有限性。在亚里士多德学派盛行时期，人们认为科学的主要任务是解释事情为什么会发生，找出事情（自然现象）背后的原因和事情的目的。伽利略第一个打破了这种本性论和目的论的思维方式，倡导用“怎么样”的实证研究代替“为什么”的哲学沉思。他认为对事物本性和目的性的探讨，不能有效地增进科学知识，也不能揭示自然运动的规律和控制运动的方法，只是猜测和玄想而已。他提出科学的本质是描述性的，如落体定律，它定量描述了小球下落过程中两个因素之间的关系，并不涉及小球的本性和目的，但增加了人们关于物体运动的精确知识。这些定量描述得来的知识片断日积月累成为了人类所获得的关于自然界的最具有价值的知识。这同时体现出了有限性的第一重含义：着重于在有限的范围内寻求对事物的解释和预测。
第二是研究方法的有限性。近代科学家认为人们可以从试验中发现自然现象中的物理规律。然而，首先能够通过实验研究的现象一定是简单的、可重复的、能够孤立研究的。其次，物理定律并不能表达现象的所有性质，它只关注能够数学化的要素。这里就体现了有限性的第二重含义：科学知识的对象都是事物的某些层面和某些部分而不是事物的全部。更重要的是，这些层面、这些部分还必须是能够用数学和逻辑的形式来表达的。
思维方式和研究方法的有限性带来了数学和科学的极度抽象化。这种抽象化付出了代价：它把丰富多彩的现实之物简化成了一个骨架，抛弃了无穷丰富的其余性质。同时它也获得了补偿：数学和科学的结果越抽象（即离实际事物和人的感觉经验越远），应用到具体事物时就越有效。
我们拓宽视野，从数学的工具论和游戏论传统来看有限性的问题和好处。一方面世界比人想象的更奇妙，数学和科学的有限性不能穷尽现实世界的所有奥秘；另一方面思想比世界更广阔，数学和科学的极富穿透性的抽象能力，使得人类创造出大自然中永远不可能自发出现的柏拉图式的理想世界和层出不穷、不断翻新的技术系统，它们大规模地改变了我们的现实生活和精神生活。
数学和科学是创造性的自由秩序
数学的发现具有高度的个人独创性，同时数学的表达具有最普遍的可接受性。然而，由于数学科学理论特有的表达方式——用逻辑架构、实验事实等构建陈述体系，人们往往意识到后者而忽略前者。事实上，那些逻辑架构和实验事实不过是科学理论的表现形式，只有拥有相应学科资源的人才能重新构建蕴含于这些理论中的个人独创性。所以，数学科学知识也是一种个人知识。同时，由于科学的分工越来越细，科学家不得不把自己限制在狭窄的专业圈子里，科学知识便随之成为了分散的局部性知识。于是，若想研究分散的个人知识如何组织，就自然要转化为研究科学家的个人行动怎样协调，即把对科学整体的静态研究转化成了通过个人行为学和演化角度研究科学的动态性。
个人行为学的核心概念是自由。这里的自由一方面指科学家的个人行动，即独立的创造性；另一方面指这些个人行动之间自发的合作方式，即共同体的组织方式。于是数学和科学知识有限性的优劣便体现在自由秩序的创造力和科学的无法控制性中。
首先，科学家的探索性活动具有强烈的个人主义，每个人都选择在自己最感兴趣、最容易突破的问题上集中精力攻关，而且也最了解科学同侪的工作中与自己最具关联、最能相互启发之处。于是，独立创造性之间的自发合作能够把每个人的创造性最大限度地发挥出来，并能把它们在最合适的地方结合起来。科学家的所有独创性活动加总起来，由近及远，由面到片，逐渐蔓延至更大范围，造就整个科学相互连通而又错落有致的宏观模样。
其次，科学知识的个人性、局部性和分散性，以及其间组合的自发性和不可预测性，使得科学未来会以什么样的面目呈现，最终将走向何处，完全超出了每个科学家的想象。每个科学家都生存于一个个局部范围之内，只知道科学的极小一部分，全体科学家好像是在致力于、陷身于一个自己对其整体状态和最终走向几乎茫然无知的庞大任务之中。但这并不必然就是一种缺陷，科学对人类未来的贡献也在于此。未来之所以是未来，正是由于其中蕴有不可预测的新奇性，不会按照任何预先给定的路径去运行。科学共同体乃是新的探索和新的发现层出不穷的一个小社会，科学的好处就在于它能使未来具有一种伴随着危险和希望的新奇性。这是自由秩序这种无法被完全控制的本性和未来永远保有的开放性所导致的。
在数学和科学的有限性之外
这次讲座的主题是：有限性思维付出了高昂的代价，人类也从中得到了惊人的回报，而且这两者不可分割。那么是否存在能够超越数学和科学这种有限性的无限性？
首先我们从对数学和科学的观察中总结有限性的三重含义：第一，人无法脱离自己的身体去理解世界，所以数学和科学不得不是“人类中心主义”的。第二，数学和科学是对事物本身无穷丰富性质的剥夺所带来的单调化。第三，数学和科学是对人本身的感觉经验的疏离所带来的抽象性。
有没有无限性突破这三种思维方式呢？东方的古代哲学中存在一种状态，既不舍得事物本身和人本身，又能超越事物本身和人本身（包括人的身体），这是一种人与宇宙完全感通的状态。这是东方文化中弥足珍贵的思想，散见于儒释道各家学问之中：“七窍凿而浑沌死”——否定的说法；“仁者浑然与天地万物为一体”——肯定的说法。然而，这种无限性如何容纳数学和科学，或者在数学和科学中这种无限性如何能体现出来，已经不是一个理论问题了。
（潘莉 整理）
